Modelo ARIMA (p,d,q)

Modelo ARIMA (p,d,q) – Análisis univariante de series temporales

Un modelo ARIMA (p,d,q) hace referencia a un modelo autorregresivo y media móvil (ARMA) integrado d veces. Los mismos, están encuadrados dentro del análisis univariante de series temporales. Para explicar el mismo, debemos separar los distintos componentes de este modelo. Ya que de esta forma, logramos una mejor comprensión. A continuación, explico de forma detallada todo lo que debemos saber sobre los modelos ARIMA (p,d,q):

En primer lugar, tenemos el componente AR del modelo. Es decir, la parte autorregresiva del modelo ARIMA (p,d,q). En el mismo, debemos tener en cuenta que lo más importante es su orden de autorregresión p. Este orden indica hasta que retardo, una variable depende de los valores de ella misma retardada. Para entender esto mejor, nos podemos fijar en los siguientes ejemplos:

  • Un modelo AR (1), sería aquel que cuenta con la variable dependiente retardada un periodo para explicar el modelo.ar1
  • El modelo AR (2), sería aquel que cuenta con la variable dependiente retardada dos periodos para explicar el modeloar2
  • Un modelo AR (p), sería aquel que cuenta con la variable dependiente retardada p periodos para explicar el modelo.arP

Debemos tener en cuenta que podemos expresar este modelo y los anteriores de forma reducida:

ARp reducido

En segundo lugar, tenemos el componente MA del modelo. Es decir, la parte media móvil del modelo ARIMA (p,d,q). En el mismo, debemos tener en cuenta que lo más importante es su orden de media móvil q. Este orden indica hasta que retardo, una variable depende los errores de sus observaciones pasadas. Para entender esto mejor, nos podemos fijar en los siguientes ejemplos:

  • Un modelo MA (1), sería aquel que cuenta con su error retardado 1 periodo para explicar el modelo.
ma1
  • El modelo MA (2), sería aquel que cuenta con su error retardado 2 periodos para explicar el modelo.
ma2
  • El modelo MA (q), sería aquel que cuenta con su error retardado p periodos para explicar el modelo.
maP

Debemos tener en cuenta que podemos expresar este modelo y los anteriores de forma reducida:

MA q reducido

Por último, tenemos el componente I del modelo. Es decir, la parte integrada del modelo ARIMA (p,d,q). En el mismo, debemos tener en cuenta que lo más importante es su orden de integración I. Este orden, es el número de veces que es necesario diferenciar un modelo para pasar de ser no estacionario a estacionario.

Variantes de la no estacionariedad en un modelo ARIMA.

En cuanto a la no estacionariedad, esta puede ser debida a existencia de tendencia o componente estacional. Para entender todo esto mejor, lo voy a explicar y ejemplificar todo:

  • Existencia de tendencia. En este caso deberemos diferenciar el modelo d veces. Ello hasta que el modelo resultante nos de como resultado, un modelo modelo estacionario al estudiar sus propiedades. La expresión a diferenciar que debemos aplicar sobre el modelo original es la siguiente en este caso:
Id
  • Existencia de componente estacional. Este caso es exactamente igual al anterior. Sin embargo, denotamos este modelo con todos los órdenes en mayúscula para diferenciar. Es decir, estaríamos ante un modelo ARIMA (P,D,Q). Además, el salto entre observaciones de la serie observada para anular el componente estacional lo denotamos como s. En base a ello,  debemos tener en cuenta que en este caso existe una pérdida de observaciones. La expresión a diferenciar que debemos aplicar sobre el modelo original es la siguiente: 
ID est

Una vez explicado todos los componentes del modelo ARIMA (p,d,q), vamos a expresar este de la forma más general posible. Ello lo haremos siguiendo la estructura de los modelos en su forma reducida por simplicidad:

  • Modelo ARIMA (p,d,q)
ARIMApdq
  • Modelo ARIMA (P,D,Q)s. Aunque a estos modelos se los suele denominar SARIMA (P,D,Q)s.
ARIMA P.D.Q Bibliografía:
  • Cáceres Hernández, J.J., Martín Rodríguez, G. y Martín Álvarez, F.J. (2008). Introducción al análisis univariante de series temporales económicas. Madrid: Delta.

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